Augustin Louis Cauchy - (21.08.1789 – 23.05.1857)
Media aritmetica a numerelor pozitive nu este mai mica decât media geometrica a lor:

.
Aceasta vestita inegalitate, care apartine matematicianului francez Augustin Cauchy, a fost publicata în anul 1821. Din acele timpuri ea se considera traditional una dintre cele mai dificile inegalitati numerice. Într-un secol si jumatate au aparut mai multe demonstratii mai simple sau mai complicate ale ei. Traditia a fost începuta însusi de Cauchy.
Cauchy s-a nascut la Paris, din copilarie manifestând capacitati mari fata de matematica. Primul educator si învatator al lui a fost tatal – un latinist si catolic înversunat. Având 13 ani, Cauchy a intrat la Scoala Centrala. Apoi, absolvind cursul de stiinte matematice la École Polytechnique si obtinând o pregatire speciala în Scoala Podurilor si Drumurilor, în 1807 a fost trimis la lucrari ingineresti. Un timp el a lucrat în calitate de inginer al cailor de comunicatie la Cherbourg.
Începând cu anul 1813 Cauchy se ocupa exclusiv cu stiinta si predarea si în 1816 devine membru al Academiei de Stiinte din Paris. În acelasi timp el citeste lectii la École Polytechnique si Collège de France. În "Traité de calcul differentiel et integral" Cauchy introduce metode mai exacte de predare a analizei. Din anul 1826 el începe publicatia "Exercices mathématiques", care reprezinta revista proprie si contine lucrari ale autorului în diferite domenii ale matematicii.
În timpul revolutiei din iulie, fiind adept al monarhiei, el a refuzat sa depuna juramântul noului guvern, n-a dorit sa ramâna în Franta, de unde a fost izgonit regele, si a plecat la Torino. Aici regele Sardiniei a creat pentru Cauchy o catedra aparte de physique sublime. În anii 1830-1838 el a calatorit prin Europa. Revenind la Paris, din cauza ostilitatii regimului nou, Cauchy a refuzat mai multe posturi si n-a jurat pâna când lui nu i s-a fost propusa catedra "fara conditii". Numai în 1848 el a devenit profesor la Sorbonne.
Credinta religioasa si convingerile politice ale lui au cauzat o atitudine partinitoare a oamenilor din partidele contrare, care l-au învinuit pe Cauchy, printre altele, si pentru nedesavârsire lucrarilor sale. Dar într-o unumita masura anume repeziciunea, cu care el trecea de la un obiect la altul, a dat posibilitatea pentru deschiderea cailor noi în stiinta.
Lucrarile lui Cauchy se refera la diferite domenii ale matematicii. Au fost perioade, când în fiecare saptamâna el trimitea la Academia de Stiinte din Paris câte un memuar nou. În total el a publicat mai mult de 800 de lucrari în asa domenii ca: aritmetica si teoria numerelor, algebra, analiza matematica, ecuatii diferentiale, mecanica teoretica si cereasca, fizica matematica.
Cursurile "Cours d'analyse de l'École polytechnique" (1821), "Résumé des leçons a l'École polytechnique donnéés sur le calcul infinitésimal" (1823), "Leçons sur l'application du calcul infinitésimal r la géometrie" (1826-1828) au servit ca modele pentru cursurile de mai târziu. Prima din lucrarile mentionate da o fundamentare noua a analizei matematice. Aici se contine definitia riguroasa a infinitului mic bazata pe trecerea la limita. Aceasta definitie a dat posibilitatea argumentarii tuturor operatiilor, care se efectueaza asupra infinitilor mici în cursurile de calculul diferential si integral. Cauchy a dat definitia continuitatii functiei, constructia bine organizata a teoriei seriilor convergente, a introdus notiune de raza de convergenta.
Cercetarile hidrodinamice l-au condus pe Cauchy la calculul integralelor definite. El a dat definitia integralei ca limita sumelor integrale si demonstratia existentei integralelor de la functie continua.
Meritul mare a lui Cauchy consta în dezvoltarea bazelor teoriei functiilor de variabila complexa, care au fost puse înca în secolul XVIII de catre Euler si d'Alembert. El a propus reprezentarea geometrica a variabilei complexe ca punctului, care se deplaseaza în plan pe drumul de integrare; a aratat ca seria de puteri
a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn + ...
în domeniu complex are cerc de convergenta; a dat notiunea de integrala cu limitele complexe.
În primile lucrarile sale Cauchy înca nu pleaca departe de predecesorii lui, utilizând variabila complexa în analiza ca un mijloc ajutator, ce da posibilitatea rezolvarii unor probleme dificile a calcului integral. În curând însa, cercetarile lui si ale altor savanti aduc la o multime extrem de bogata de fapte si rezultate noi. Devine clar, ca este vorba despre existenta unei discipline aparte – teoriei functiilor de variabila complexa. Pe parcursul anilor 1826-1829 Cauchy a elaborat teoria reziduurilor si aplicatiile acestei în analiza.
Argumentarea teoretica a analizei matematice, data de catre Cauchy, a fost atât de trainica, ca a pastrat valoarea sa pâna la ultimii ani ai secolului XIX. Numai la sfârsitul secolului XIX a aparut ne...