O1. Sa se rezolve sistemul:
Rezolvare:
Conditii de existenta: x,yR*+
Ecuatia atasata:
1
- - - - - - - - 0 - - - - - -
Deci
O2 Sa se gaseasca valorile lui x astfel încât:
Raspuns:
Se observa ca x=0 este solutie
=
Se considera si
f(x) este strict crescatoare pe R
g(x) este strict descrescatoare pe R
O3 Fie aR. Sa se rezolve în R ecuatia:
Rezolvare:
O4 Sa se rezolve sistemul:
Rezolvare:
Conditii de existenta: x,yR*+
Observam ca este solutie a sistemului
Verificare:
33-22=27-4=23
Cazul 1 x(0;3)
Din relatiile (1) si (2)?contradictie?nu exista solutii pentru x(0;3) (3)
Cazul 2 x(3;+8)
Din relatiile (1) si (2)?contradictie?nu exista solutii pentru x(3;+8) (4)
Din relatiile (3) si (4)?ecuatia are solutie unica
O5 Sa se rezolve ecuatia:
4x+9x+25x=6x+10x+15x
Raspuns:
Observam ca x=0 verifica ecuatia.
Verificare: 1+1+1=1+1+1?3=3 (A)
Solutia 1:
Notam 2x=a
3x=b
5x=c
ecuatia 4x+9x+25x=6x+10x+15x se poate scrie a2+b2+c2=ab+ac+bc
a2+b2=2ab
a2+c2=2bc
b2+c2=2ac +
2(a2+b2+c2) =2(ab+bc+ac)? a2+b2+c2 =ab+bc+ac
Egalitatea are loc daca a=b=c ? 3x=2x=5x?x=0
Solutia 2
4x+9x-6x =+10x+15x-25x / :10x
Definim urmatoarele functii:
f(x)= este strict descrescatoare pe R
g(x)= este strict crescatoare pe R
O6 Sa se rezolve ecuatia:
Rezolvare:
Observam ca x=2 este solutie a ecuatiei.
Verificare:
Definim urmatoarele functii:
f(x)=, ?f(x) este strict descrescatoare pe R
g(x)=(sin )x, ?g(x) este strict crescatoare pe R
f(x)+g(x)= este strict descrescatoare pe R
Deci x=2 este solutie unica.
O7 Sa se rezolve ecuatia:
Rezolvare:
Observam ca x=5 este solutie a ecuatiei.
Verificare: 30=1?1=1 (A)
Definim functiile:
f:R?R, f(x)= este strict crescatoare pe R
g:R?R, g(x)= este strict descrescatoare pe R
f(x)=
x
