Calculul ecuatiilor matriciale
Fie A, B(Mm× m ( C), A = a11 a12 a 13 ……...a1m , B= b11 b 12 b13 ……b1m
a21 a22 a 23 ……...a2m b21 b 22 b23 ……b2m
a31 a32 a 33 ……...a3m b31 b 32 b33 ……b3m
……………………… ……………………
am1 am2 a m3 ……..amm bm1b m2 bm3 …..bmm
astfel încât A så fie ne singularå ( deci så existeA-1). Så consideråm ecua-tiile matriceale :
AX=B, YA=B
înmultind prima ecuatie la stânga cu A-1 si pe a doua la dreapta cu A-1, se obtine:
A-1(AX)= A-1B, (YA) A-1= BA-1
folosind asociativitatea matricilor se obtine:
(A-1A)X= A-1B, Y(A A-1)= BA-1
dar (A-1A)=Im si folosind proprietatea matricii identice,se va obtine:
X= A-1B, Y= BA-1
iar prin calculul A-1B si B A-1 se va obtine X, Y. De obicei X,Y sunt diferite deoarece înmultirea matricilor nu este comutativå:
Så se rezolve urmåtoarele ecuatii matriciale:
1. 2 1 5 6 2 1 5 6
· X = ,notez A= ,B=
2 3 6 8 2 3 6 8
A-1·/A·X=B ? A-1·(A·X)= A-1B? (A-1·A)·X= A-1B?I2·X= A-1B?X= A-1B
detA = 2·3 – 2 = 4
A-1=(1/ detA)·A*
a*11 a*21
A*=
a*12 a*22
a*11 =(-1)2 ·3= 3
a*12 =(-1)3 ·2= -2
a*21 =(-1)3 ·1= -1
a*22 =(-1)4 ·2= 2
3 -1
A*=
-2 2
3 -1 3/4 -1/4
A-1=(1/4) · =
-2 2 -1/2 1/2
3/4 -1/4 5 6 9/4 5/2
X= · =
-1/2 1/2 6 8 1/2 1
2. -1 -2 1 2 -1 -2 1 2
X· = ,notez A= ,B=
5 8 -3 6 5 8 -3 6
X·A=B/·A-1?(X·A)·A-1=B·A-1?X·(A·A-1)=B ·A-1?X ·I2=B· A-1?X= B ·A-1
detA = -8 +10 =2
A-1=(1/ detA)·A*
a*11 a*21
A*=
a*12 a*22
a*11 =(-1)2 ·8= 8
a*12 =(-1)3 ·(-2)=2
a*21 =(-1)3 ·5= -5
a*22 =(-1)4 ·(-1)= -1
8 2
A*=
-5 -1
8 2 4 1
A-1=(1/2) · =
-5 -1 -5/2 -1/2
7 2 4 1 23 6
X= · =
-3 5 -5/2 -1/2 -49/4 -11/2
3. -1 2 4 6 8 13 -1 2 4 6 8 13
·X· = ,notez A= ,B= ,C =
-3 8 5 8 -4 -7 -3 8 5 8 -4 -7
A·X·B=C/·B-1?(A·X·B)·B-1=C·B-1?(A·X)·(B·B-1)=C·B-1?(A·X)·I2=C·B-1? (A-1)·/A·X=C·B-1?A-1(A·X)=A-1·C·B-1?(A-1·A)·X=A-1·C·B-1?I2·X=A1·C· B-1?X=A-1·C·B-1
detA = -8 +6 =-2
A-1=(1/ detA)·A*
a*11 a*21
A*=
a*12 a*22
a*11 =(-1)2 ·8= 8
a*12 =(-1)3 ·(-3)=3
a*21 =(-1)3 ·2= -2
a*22 =(-1)4 ·(-1)= -1
8 -2
A*=
3 -1
8 -2 -4 1
A-1=[1/-(2)] · =
3 -1 -3/2 1/2
detB= 32-30 =2
B-1=(1/ detB)·B*
b*11 b*21
B*=
b*12 b*22
b*11 =(-1)2 ·8= 8
b*12 =(-1)3 ·5=-5
b*21 =(-1)3 ·6= -6
b*22 =(-1)4 ·4= 4
8 -6
B*=
-5 4
8 -6 4 -3
B-1=(1/2) · =
-5 4 -5/2 2
-4 1 8 13 4 -3 -36 -59 4 -3 7/2 -10
X= · · = · =
-3/2 1/2 -4 -7 -5/2 2 -14 -23 -5/2 2 3/2 -4
4. 1 2 3 -1 5 3 1 2 3 -1 5 3
X· 0 1 2 = 2 1 -1 ,notez A= 0 1 2 ,B= 2 1 -1
-1 2 1 -3 4 -5 -1 2 1 -3 4 -5
X·A=B/·A-1?(X·A)·A-1=B·A-1?X·(A·A-1)=B ·A-1?X ·I2=B· A-1?X= B ·A-1
detA = 1– 4 + 3 – 4 = (4
A-1=(1/ detA)·A*...