Ecuatii de gradul al II-lea. Relatiile lui Viete.
In mod traditional, acest capitol facea parte din programa clasei a VIII-a. Incepand cu anul scolar 1993-1994, a fost trecut la clasa a IX-a. Actualizarea corespunzatoare a manualelor s-a produs abia in 1999.
Continutul acestui capitol este urmatorul:
Formula de rezolvare a ecuatiei de gradul al doilea. Rezolvarea unor cazuri particulare;
Discutia naturii si semnelor radacinilor ecuatiei de gradul al II-lea cu coeficienti reali;
Relatiile lui Viete si cateva aplicatii: descompunerea trinomului de gradul al II-lea in factori etc.
Nu prezentam aici formula de rezolvare a ecuatiei de gradul al II-lea si nici relatiile lui Viete. Vom analiza insa cateva exercitii de mai multe tipuri. Deocamdata, vom discuta numai despre rezolvarea ecuatiei de gradul al II-lea in multimea numerelor reale.
Ex. 1. Fie numerele reale astfel incat . Sa se arate ca cel putin una dintre ecuatiile:
are radacinile reale.
Solutie. Sa presupunem prin absurd ca ambele ecuatii nu au radacini reale. Inseamna ca discriminantii ambelor ecuatii sunt negativi:
Rezulta . Utilizand relatia specificata in ipoteza si cele doua inegalitati, deducem ca:
, absurd. Rezulta ca, cel putin una din ecuatii are radacini reale.
Ex. 2. Sa se rezolve in R ecuatiile:
a)
b)
Solutie. a) Se observa ca, notand:
Ecuatia devine deci . Aceasta are radacinile .
Trebuie acum sa rezolvam ecuatiile:
.
Multimea solutiilor reale ale ecuatiei date este deci:
b) Inmultind cele doua trinoame de gradul al II-lea, obtinem o ecuatie de gradul al IV-lea relativ greu de rezolvat. Ideea este sa descompunem trinoamele in factori, grupand diferit factorii liniari rezultati. In general, daca avem o ecuatie de gradul al IV-lea de forma:
unde , aceasta se reduce la rezolvarea a trei ecuatii de gradul al II-lea.
Intr-adevar, ecuatia se scrie:
Se noteaza si obtinem rezolventa de gradul al II-lea:
cu solutiile . Ramane apoi sa rezolvam ecuatiile .
Sa revenim la ecuatia noastra. Observam ca si ca . Avem deci:
Se noteaza si se obtine rezolventa:
.
Raman de rezolvat ecuatiile de gradul al II-lea:
Multimea solutiilor reale ale ecuatiei date este deci:
Ex. 3. Daca sunt numere intregi impare, sa sa arate ca:
Utilizand eventual acest rezultat, sa se determine numarul intreg primstiind ca ecuatia admite radacini intregi.
Solutie. Presupunem ca ecuatia ar admite o radacina rationala, deci de forma (conditia ca sa fie prime intre ele exprima de fapt ideea ca fractia sa fie simplificata pana la forma ireductibila). Inlocuind in ecuatie si eliminand numitorii, gasim:
Avem urmatoarele posibilitati:
a) . In acest caz, numerele sunt pare, iar este impar. Suma celor trei este un numar impar, deci nu poate fi zero.
b) . Caz similar cu cel precedent.
c) ambele impare. In acest caz, toate numerele sunt impare. Suma lor este un numar impar, deci nu poate fi zero.
Cu aceasta, am epuizat toate posibilitatile (nu pot fi ambele pare, deoarece ar rezulta ). Rezulta ca ecuatia data nu admite radacini rationale.
Observatie. Rezultatul ramane valabil pentru orice ecuatie algebrica de grad par cu coeficientii numere intregi impare.
Sa trecem sa rezolvam si partea a doua (propusa la admitere in Facultatea de Matematica prin 1982). Pentru ca ecuatia sa poata avea radacini intregi, cel putin un coeficient trebuie sa fie par si acesta este . Pe de alta parte, numarul este prim, deci nu poate fi par decat daca . Incercand pe rand ambele valori, obtinem .
Ex. 4. Fie . Sa sa arate ca radacinile ecuatiei:
sunt reale. Sa se deduca de aici inegalitatea:
.
Solutie. Putem presupune (fara a restrange generalitatea) ca . Notam cu membrul stang al ecuatiei date. Se observa ca:
Functia fiind continua pe R, rezulta ca se anuleaza o data pe intervalul si inca o data pe intervalul , ceea ce demonstreaza ca radacinile ecuatiei date sunt reale.
Desfacem ecuatia sub forma:
si scriem conditia:
Ex. 5. Fie ecuatia cu radacinile . Sa se exprime in functie de si :
a)
b)
c) (in ipoteza ca ).
Solutie. Conform relatiilor lui Viete, avem
Folosim relatiile:
Avem:
Ex. 6. Fie radacinile ecuatiei . Sa se calculeze:
Solutie. Se observa ca radacinile ecuatiei date nu sunt reale. Determinarea lor (ca numere complexe) urmata de introducerea in expresie ar condu...
