MATRICI PATRATE DE ORDIN 2
RIDICAREA LA PUTERE A UNEI MATRICI PATRATE DE ORDIN 2
? În ceea ce urmeaza vom folosi urmatoarele notatii :
, S=a+d , D=ad-bc , ; a,b,c,dC (am notat cu C multimea numerelor complexe).
Presupunem cunoscuta identitatea:
A2=SA-DI (R I.1)
Oricum, se poate verifica foarte usor. În acest capitol vom da o generalizare a relatiei (R I.1) pentru puteri naturale ale lui A .
? Înmultind relatia (R I.1) cu An-1 obtinem An+1=SAn-DAn-1.
De aici rezulta ca putem sa consideram identitatea
(R I.2) daca definim produsul mixt
unde x,y,z,wC iar M,N sunt matrici patrate de ordin2.
Ceea ce e important pentru noi este ca produsul acesta are proprietatea asociativitatii mixte urmatoare :
unde x,y,z,w,x’,y’,z’,w’C iar M si N sunt matrici patrate de ordin 2 cu elemente numere complexe.Aceasta se poate verifica direct prin calcul.
? Daca notam din relatia (R I.2) , prin iterare repetata si folosind asociativitatea mixta , rezulta :
Deci avem relatia n=1 ; (R I.3)
care de altfel se poate verifica prin inductie.
Ceea ce este remarcabil aici este ca H are un element egal cu zero ; aceasta ne da posibilitatea sa calculam Hn si în cele din urma An+1.
? Calculul lui Hn si al lui An+1:
Notam ; atunci din relatia Hn+1=H Hn rezulta :
. De aici rezulta :
xn+1=Sxn-Dzn xn+1=Sxn - Dxn-1
yn+1=Syn-Dwn yn+1=Syn - Dyn-1 (R I.4)
zn+1=xn zn+1=xn
wn+1=yn wn+1=yn
Fie p si q radacinile ecuatiei ; presupunem ca p?q .
Atunci sirurile xn=a1pn+b1qn si yn= a2pn+b2qn sunt solutii pentru relatiile (R I.4) , ceea ce se poate verifica direct prin calcul.
Numerele a1,b1 si a2,b2 rezulta din c
